２項分布についての解説

コイン投げの試行を行ったとき、試行結果はオモテ面かウラ面のどちらかになる。このように試行結果が 2 種類しか取り得ない試行をベルヌーイ試行と呼びます。
このベルヌーイ試行をｎ回繰り返したとき、事象A（例えばコインの表が出る）の起こる回数Xの確率分布を二項分布といいます。

計算式とグラフは次の通りです。 

$P(X=k)={}_n\mathrm{C}_kp^k(1-p)^{n-k}$

縦軸P(X)

横軸X

グラフをwikipediayより引用　作者名　Tayste 　File:Binomial distribution pmf.svg

内部統制の実施基準に書かれている、「許容誤謬率が９％」を当てはめてみましょう
例えば、ゆがんだコイン（表の出る確率がp=0.09、裏の出る確率がp-1=0.91とする）をn=25回投げた場合に、表がX回出る確率を計算してみます。

その確率の計算は本来であれば上記の計算式を使いますが、エクセルの関数で用意されているのでそれを使います。
確率　＝　BINOM.DIST(成功数,試行回数,成功率,関数形式)

表が出る回数X＝０～2５の確率をすべて計算してグラフにすると、次の通りです。

横軸X

グラフを見てわかる通り、表が２回でる確率が一番高いです。これは期待値np＝25回×0.09＝2.25回からもわかります。

実施基準にはサンプリングリスク１０％（９０％の信頼度）とすると書かれています。これは、発生する確率が１０％未満の事象が生じたら異常ということです。その場合、前提としている、表の出る確率p=0.09が誤っているとみなせます。
例えば実際にコインを25回投げてみて一回も表が出なかった場合、P（X＝０）＝9.5％の確率の事象が起きてしまったことになりますので、表が出る確率ｐ＝９％は誤りとみなせるということになります。（統計の世界では帰無仮説を棄却するといいます）
また、表の出る回数が少ない方向の結果が出ているため、表が出る確率ｐは９％未満ということになります。

なお、X＝24回で計算すると、次の通りです。

表が一回も出ない場合の確率P（X＝０）が、0.104となります。これでは１０％を超えているため、表が一回も出なかったとしても、表が出る確率ｐ＝９％を棄却できません。
表が出る確率ｐ＝９％であることが確かめられてしまいますので、ｎ＝２４回では試行回数が足りないのです。

またｎ＝４２回で計算してみましょう。
表が一回も出ない場合の確率P（X＝０）が、0.019、1回表が出る確率P（X=1）が0.079、合計して0.098となります。
この場合、０回でなく1回表が出たとしても、サンプリングリスクの１０％未満ですので、表が出る確率ｐ＝９％を棄却できます。なので、1回表が出ても良いんですね。

このように、付録２の統計的サンプル数の例示が作成されています。

おわり